F-Score：带学习的逻辑回归

第 2 章用 Beneish 八变量 M-Score 在测试集上跑出 AUC = 0.5399，前 100 名零命中。那个模型把每个公司的 8 个比率打分后线性加权，权重是 Beneish 1999 论文用 1982–1992 年 74 家被 SEC 处罚公司样本拟合出来的常数。常数权重的好处是简洁，坏处也明显：换一份新数据，权重永远不会自动调整。要让权重根据样本"学"出来，就要把规则模型升级为统计模型。这一章引入会计学界用了三十年的工具：逻辑回归。配合 Dechow 等人 2011 年发表在 Contemporary Accounting Research 上的那篇 65 页长论文，我们要复刻 F-Score 的原始设计，看看它在 Bao 复制包上的判别力还剩多少。

逻辑回归在会计 ML 文献里有特殊地位。它既是 1980 年代以来银行违约预测、破产预测、舞弊检测的工作母机，也是 2010 年代以后被树模型与神经网络逐步取代的"经典基线"。把它放在第 3 章，是要让读者亲手感受一件事：在固定特征集和无正则的 MLE 设定下，逻辑回归能给出一个排序得分，比恒预测多数类的零模型好得多，但离机器学习时代的 AUC 上限还隔着相当一段距离。

从规则到概率

第 2 章 M-Score 的输出是一个连续的实数分数，没有概率含义；它落在哪个区间，全靠 Beneish 经验切的阈值 $-2.22$。逻辑回归不一样，它直接输出"这家公司在这一年被记为舞弊的概率"。要让模型输出概率，需要一个把任意实数压缩到 $[0,1]$ 区间的函数，这个函数叫 sigmoid 函数，简称 logistic 函数。

举一个数字例子。假设我们用一个简化模型：只用 ch_roa，也就是资产回报率年度变化，作为唯一变量预测舞弊。某家公司的 ch_roa 是 $-0.05$，模型估计的截距是 $-7.4$、斜率是 $-0.42$。把数字代进线性部分得到 $-7.4 + (-0.42) \times (-0.05) = -7.379$。这个 $-7.379$ 没有概率含义，它叫 log-odds。把 log-odds 通过 sigmoid 变换：$1/(1 + e^{7.379}) \approx 0.00062$，得到这家公司被舞弊的预估概率 0.062%。

公式背后的会计直觉是：模型给每个特征一个权重，把所有特征按权重加起来得到 log-odds，再用 sigmoid 把 log-odds 翻译回概率。系数 $\beta_j$ 的解释是"特征 $x_j$ 每增加一个单位，log-odds 增加 $\beta_j$"，等价于"舞弊优势比 odds ratio 乘以 $e^{\beta_j}$"。这种"权重 + 加和 + 压缩"的结构和 M-Score 的"权重 + 加和"只差最后一步压缩，但因为权重是从数据里学出来的而不是查表查来的，模型可以适配新样本。

图 3·1　Dechow F-Score 逻辑回归的整体管道：七个会计比率分别度量应计质量、绩效压力与融资动机；权重 $\beta_j$ 由 Bao 训练集 1991–2002 用 MLE 估出，线性组合得到 log-odds $z$；sigmoid 函数把 $z$ 压回 $[0,1]$ 得到预测舞弊概率 $\hat p$；F-Score 等于 $\hat p$ 除以训练期无条件舞弊率 $\bar p$，本数据 $\bar p \approx 0.83\%$，下节实证给出。完整 TikZ 结构图详见 PDF 全文。

逻辑回归用最大似然估计拟合，简称 MLE。给定训练样本 $(\mathbf{x}_i, y_i)$，参数选择让对数似然函数取最大值。这个优化是凸的，没有局部最优解，迭代算法收敛快，是它能在 1980 年代低算力时代普及的根本原因。R 的 glm 默认用 IRLS 算法解 MLE，Python 的 sklearn 默认带 L2 正则，要逼近 R 的解需要把惩罚强度参数 $C$ 设成一个极大值，并换用 newton-cg 解算器。这一节的代码会演示这件事。

Dechow F-Score 的设计

Dechow、Ge、Larson 和 Sloan 在 2011 年的论文里做了一件事：把当时已知的舞弊先行指标整理成一个更系统的特征集，用 1982–2005 年 SEC 发布的 AAER 标记的 676 家舞弊公司样本训练逻辑回归，得到一个被后来文献广泛引用的得分函数。这套特征集分三类：应计质量、绩效压力、融资动机。

应计质量类有三个变量。第一个是 RSST 应计的同比变化，对应 Bao 字段里的 ch_rsst。Richardson、Sloan、Soliman、Tuna 在 2005 年发现，把传统总应计扩展到包含非现金净营运资本、非流动经营资产和非流动经营负债三块后的"全口径"应计与未来盈余反转更相关。应计金额本身越大，公司在收入确认与费用资本化上动用的会计估计弹性越大，越容易给舞弊提供操作空间。第二个是应收账款的同比变化 dch_rec。应收账款相对于销售异常增长，是收入虚增的经典信号：卖了货但收不到钱，往往意味着收入是用客户授信硬撑出来的。第三个是存货的同比变化 dch_inv。存货相对于销售异常累积，是销货成本被压低的嫌疑信号；公司把本该结转的成本留在存货账户里，当期净利润就被人为推高。

绩效压力类有两个变量。soft_assets 衡量软性资产占总资产的比例，软性资产是除现金、PPE 之外的中间科目，比如应收、存货、商誉等。这些科目的账面价值依赖会计估计，估计弹性越大，操纵空间越大。ch_roa 是资产回报率的年度变化。Dechow 等人发现，舞弊公司在被处罚年度往往伴随 ROA 的同比下滑，反映"业绩压力催生造假动机"：公司越是经营不下去，越有动机美化报表。这个方向让 ch_roa 的回归系数应当为负。

融资动机类有两个变量。ch_cs 是现金销售相对于销售总额的年度变化，反映收入结构里"硬通货"占比的变动；issue 是个 0/1 哑变量，标记公司当年是否新发权益或债务。当年要发新股发新债的公司，有强烈动机把当期报表做得好看，让市场愿意以较高价格接盘。

七个变量加起来是 Dechow 2011 论文 Table 7 Model 1 的预测器集合。原文的回归系数被用来构造 F-Score：把模型预测的舞弊概率除以样本无条件舞弊率，得到一个相对放大倍数。F-Score 大于 1 意味着这家公司的预测舞弊概率高于平均，大于 1.85 是 Dechow 给出的"高风险"经验阈值，大于 2.45 是"非常高风险"阈值。这套阈值在 Bao 数据上是否仍然合用，下一节用代码检验。

在 Bao 数据上的实现

我们先按 Bao 协议切训练 / 验证 / 测试三段，然后分别拟合 Model A 和 Model B。Model A 把 28 个原始 Compustat 变量与 14 个衍生比率全放进右边，共 42 个特征；Model B 只用 Dechow 七变量。两个模型都在切分前先做 NA 过滤，因为一行只要任一特征缺失，逻辑回归无法处理这一行。这是逻辑回归相对树模型的明显短板，第 5 章会讨论。

library(tidyverse)
library(pROC)
set.seed(2026)

d <- read_csv(here::here("data", "bao2020_full.csv"),
              show_col_types = FALSE)

raw_vars <- c("act","ap","at","ceq","che","cogs","csho","dlc","dltis",
              "dltt","dp","ib","invt","ivao","ivst","lct","lt","ni",
              "ppegt","pstk","re","rect","sale","sstk","txp","txt",
              "xint","prcc_f")
ratio_vars <- c("dch_wc","ch_rsst","dch_rec","dch_inv","soft_assets",
                "ch_cs","ch_cm","ch_roa","issue","bm","dpi","reoa",
                "EBIT","ch_fcf")
all_vars    <- c(raw_vars, ratio_vars)
dechow_vars <- c("ch_rsst","dch_rec","dch_inv","soft_assets",
                 "ch_cs","ch_roa","issue")

# Model A：42 特征全集，先丢有 NA 的行，再切
d_full <- d %>% drop_na(all_of(all_vars))
trA <- d_full %>% filter(fyear >= 1991, fyear <= 2002)
teA <- d_full %>% filter(fyear >= 2009, fyear <= 2014)
mA  <- glm(reformulate(all_vars, "misstate"),
           data = trA, family = binomial)
predA <- predict(mA, newdata = teA, type = "response")

# Model B：Dechow 七变量
d_dech <- d %>% drop_na(all_of(dechow_vars))
trB <- d_dech %>% filter(fyear >= 1991, fyear <= 2002)
teB <- d_dech %>% filter(fyear >= 2009, fyear <= 2014)
mB  <- glm(reformulate(dechow_vars, "misstate"),
           data = trB, family = binomial)
predB <- predict(mB, newdata = teB, type = "response")

系数符号方向的会计直觉检查

Model B 七变量在 Bao 训练集上的拟合系数列在下表。每个系数的会计直觉方向都可以预先写下来，再去和 R 输出对照。

表 3·1　Dechow 七变量在 Bao 训练集 1991–2002 上的逻辑回归系数

七个变量的符号方向全部与会计直觉一致。soft_assets 是数值上最强的预测器，系数 $+2.08$ 对应优势比 $e^{2.08} \approx 8.0$；软性资产占比每提高一个百分点，舞弊优势比放大 8 倍。issue 与 ch_rsst 紧随其后，对应"当年发新股发新债"和"全口径应计大幅增长"两条经典舞弊路径。ch_roa 系数为负且显著，确认"业绩压力催生造假"的方向。两个边缘信号是 dch_inv，不显著，与 ch_cs，$p = 0.067$。dch_inv 的不显著有点意外，可能与 Bao 数据样本期与 Dechow 原文不重叠有关；2008 年以后零售与制造业存货管理普及 ERP，存货异常增长作为舞弊信号的判别力被自然削弱。

停下来想一想。 如果你要在审计场景里用 F-Score 做风险筛查，你会更信任系数的方向，还是它的具体数值？把训练样本期 1991–2002 和应用期 2009–2014 之间发生的所有制度变化、技术变化、行业结构变化都算进来，答案就清楚了：方向比数值更稳健。这也是为什么 Dechow 论文给 F-Score 设的两个阈值，1.85 对应高风险，2.45 对应非常高风险，一直被后续文献沿用，但具体的回归系数随每篇复刻论文样本变动而漂移。

性能评估与案例公司打分

Model A 与 Model B 在测试集 2009–2014 共 107 例舞弊上的四指标列在下表。

表 3·2　两种逻辑回归模型在测试集 2009–2014 上的性能

两家标志性案例公司在 Model A 和 Model B 下的得分列在下表。Model B 的预测概率乘以无条件舞弊率倒数后就是 F-Score。

表 3·3　Enron 2000 与 Tyco 2000 在两种逻辑回归下的打分

Enron 2000 在 Model A 下被判定为高度可疑，预测概率 0.937，远超审计场景的任何合理阈值；Model B 给的预测概率虽然只有 1.8%，但 F-Score = 2.17 落在 Dechow 1.85 阈值之上，按原文标准属于"高风险"区间。两个模型对 Enron 都给出了"该查"的结论。Tyco 2000 的情况更复杂：Model A 只给 0.158，Model B 给 0.014，对应 F-Score = 1.63 低于 1.85 阈值。Tyco 是规模化连环并购公司，被处罚的舞弊主要是高管私人开支报销与并购溢价分摊扭曲，纯财务比率信号对这类舞弊的敏感度天然较低。这件事呼应第 1 章的 noisy positive 讨论：模型识别不出 Tyco，不一定是模型错，可能是 Tyco 的舞弊信号根本不在七个比率覆盖的维度里。

R 与 Python 在两个模型上的所有数字一致到小数点后 4 位。Python 的 sklearn 默认带 L2 正则，要逼近 R 的 MLE 解需要把惩罚强度参数 $C$ 设成 $10^8$ 并换用 newton-cg 解算器；如果继续用默认 lbfgs 解算器，42 特征的量纲差异会让 lbfgs 不收敛，最终给出一个明显劣于 R 的解。这里的量纲差异指原始 Compustat 字段从几个数量级到亿美元，衍生比率多在 $[-1, 1]$ 区间。这是 Python 实现里最容易踩的坑。

本章累积对比表

表 3·4　第 3 章累积方法对比

第 4 章把 Model A 的 42 特征加上 LASSO 与 Elastic Net 正则化，看看自动特征选择能不能在 AUC 不下降的前提下，把模型缩到一个 7 到 12 个变量、可解释性接近 Dechow 七变量、判别力接近 Model A 的紧凑版本。

本章知识地图

表 3·5　第 3 章核心概念与常见误解